高中数学:三角函数中的数学思想方法

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高中数学:三角函数中的数学思想方法

六开彩预测内部三角函数是高中数学的重要内容,它蕴含着丰富的数学思想方法。灵活地借助数学思想方法解题,往往可以避免复杂的运算,优化解题过程,降低解题难度。本文能过实例介绍几种常用的数学思想方法。

一。 方程的思想例1。 已知sinθ+cosθ=

,θ

(0,π),则cotθ=________。解析:由sinθ+cosθ=

平方得sinθcosθ=

。又θ

(0,π),所以sinθ>0,cosθ<0,且sinθ>

,将sinθ,cosθ看作是方程

六开彩预测内部的两根。所以sinθ=

,cosθ=

。从而cotθ=

,应填

。

二. 函数的思想例2. 已知x,y ∈[

],且x3+sinx-2a=0①,4y3+sinycosy+a=0②,求cos(x+2y)的值。解析:设f(u)=u3+sinu。由①式得f(x)=2a,由②式得f(2y)=-2a。因为f(u)在区间[

]上是单调奇函数,所以f(x)=-f(2y)=f(-2y)。又所因x,-2y∈[

],所以x=-2y,即x+2y=0。所以cos(x+2y)=1。

三. 数形结合的思想例3. 函数f(x)=sinx+2

,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是______。

解析:f(x)=

函数f(x)=sinx+2

,x∈[0,2π]的图象(如图1)与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则1<k<3。

四。 化归的思想例4。 设α为第四象限的角,若

,则tan2α=_________。解析:因为

=

=

=

,所以,tan2

=

。又因为

为第四象限的角,所以tan

=

,从而求得tan2

=

。

五. 分类讨论的思想例5. 若△ABC的三内角满足sinA=

①,问此三角形是否可能为直角三角形?解析:假设△ABC可以为直角三角形。(1)若B=90°,则A=90°-C,代入①中,得sin(90°-C)=

,所以cos2C=1+sinC,1-sin2C=1+sinC,所以sinC=1,即C=90°。这是不可能的,所以B≠90°。(2)同理,C≠90°。(3)若A=90°。①式右边=

①式左边=sinA=sin90°=1。所以此三角形可为直角三角形,此时A=90°。

六. 换元的方法例6. 已知sin3θ+cos3θ=1,求sinθ+cosθ的值。解析:因为sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ+cos2θ-sinθcosθ)=(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)所以(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)=1。设sinθ+cosθ=x(

),则sinθcosθ=

。所以x

,即x3-3x+2=0,(x-1)2(x+2)=0。因为

,所以x-1=0,得x=1。所以sinθ+cosθ=1。

七. 整体的方法例7. 证明cos

。证明:设

,b=

,则ab=

=

=

。因为b≠0,所以a=

。即原式得证。

八。 类比联想的方法例8。 已知λ为非零常数,x∈R,且f(x+λ)=

。问f(x)是否是周期函数?若是,求出它的一个周期;若不是,请说明理由。分析:由于探索的是周期函数的问题,容易联想到三角函数。又f(x+λ)=

的结构的形式极易与tan(x+

)=

进行类比,故可把tanx看成是f(x)的一个原型实例,且题中的λ相当于实例中的

。由于周期函数tanx的周期T=4·

六开彩预测内部,故可猜想f(x)也为周期函数,且周期为4λ。解:f(x+2λ)=f[(x+λ)+λ]=

,则f(x+4

)=f[(x+2

)+2

]=

。所以f(x)是周期函数,且4

是它的一个周期。

▍ 来源:综合网络

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